Scott Aaronson談OpenAI數學成果潮與「數學末日」

昨晚，我9歲的兒子這樣嘲弄我太太、複雜性理論學家 Dana Moshkovitz：「媽咪，我聽説你被打爆了！我聽説有個機械人解決了你整個職業生涯都在研究的數學問題！哎喲！」

我兒子雖然在耍賴，但他説的也沒錯。不論你對此感到興奮、沮喪、憤怒，還是有其他感受，昨天肯定是數學史上最重要的日子之一。沒錯，在 OpenAI 昨日公佈的372項重大成果中，經由 Timothy Gowers、Edward Witten 和其他知名數學家組成的顧問小組推薦，有一份證明證明瞭 Subhash Khot 的唯一遊戲猜想（UGC）。我認識太太以來，她一直致力於證明這個猜想。（UGC 意味着一大批最佳化問題確實是 NP-hard；即使你只想要一個比半正定規劃鬆弛所得結果稍好的近似解，也無法避開這個結論，而半正定規劃鬆弛是我們的主要工具之一。）

或者至少，我們相當肯定那是一份證明！部分（但並非全部）其他突破性成果也附有 Lean 證明憑證。不過，目前似乎幾乎沒有任何人類理解其中任何一份證明；理解它們的競賽才剛剛開始。如果你想實際感受一下這場競賽會是甚麼樣子，以下是 Dana 昨晚傳給我的部分內容：

感覺像是由服用了迷幻藥的人寫的。內容非常含糊，很多地方都説不通。大量提及先前的研究，卻沒有討論為何儘管已有不可能性結果，仍可使用這些研究

基本上，這篇論文寫得糟糕透頂，沒有 AI 協助根本不可能讀懂

我請 Astra 提出噪音元件合理的完備性和健全性主張，它把論文各處的主張拼合起來，給出了答案

他們還直接為 UGC 的主要應用（Max Cut 和所有 CSP）提供了最佳近似 NP 困難性證明，繞過了 UGC。

UGC 的證明創造了一種全新而古怪的碼，並配有噪音測試。這是一種瘋狂的遞迴構造。

既不是長碼，也不是短碼——是某種外星式的瘋狂東西

我仍認為，或許存在一個使用半空間碼（這很自然）的證明

引文往往無關緊要，而且令人困惑

一種可能的未來是：如果你有遠見或創意構想，AI 可以協助驗證和實現，那麼數學世界將會美好得如同天堂。

當然，我們還有很多東西要向外星人學習

如果你好奇 Dana 有甚麼感受——嗯，她大概甚麼感受都有！即使一項核心職業抱負已被機械人實現，對她來説至少還有兩件事可以稍作安慰。第一，她可以因為 UGC 最終證明為真而感到自己的判斷得到印證；即使許多同事曾經懷疑，她從未懷疑過這一點！第二，我們所有數學、理論計算機科學和數學物理領域的人——至少是那些重視解決明確界定問題的人——現在都處於同一境地。

除了唯一遊戲猜想，以下是阿拉丁寶藏洞穴中的一小部分珍寶，也是我未來幾星期最可能留意的內容：

• L=BPL（即機率對數空間與確定性對數空間相同），是僅次於 P=BPP 的重要去隨機化猜想之一。雖然大家從未真正懷疑它為真，仍有一整個研究社羣專注於證明這一點。
• 在少於 O(n log n) 的時間內完成傅裏葉變換和整數乘法，打破了自 1960 年代以來一直未能突破的瓶頸。若你想知道新的執行時間，是 O(n log^{0.9999999999999} n)，前後可能差幾個 9。
• 對酉合成問題的肯定解答。Greg Kuperberg 和我早在 2007 年便提出了這個問題。對於每個 n 量子位元的酉變換 U，都存在一個經典預言機 A，使得在存取 A 的情況下，可於量子多項式時間內實現 U。這與大多數人的預期相反，並可能影響例如從黑洞解碼霍金輻射等計算問題，以及量子複雜度理論中的許多其他問題——前提是我們有高效建構預言機 A 的方法，而這篇論文並沒有提供這種方法。
• 奇偶性不屬於 QAC⁰。這是自 1999 年以來量子複雜度理論中的重要問題之一，我的許多同事一直逐漸接近解答。
• 總布林函數的隨機查詢複雜度與量子查詢複雜度之間近乎 4^次方的分離。這是我自 1998 年（！）以來最喜歡的問題，當時我們只知道最佳分離指數介乎 2 至 6 之間。過去幾年，我們知道它介乎 3 至 4 之間。因此，這終於為這段故事畫上句號。
• 敏感度與區塊敏感度之間的超二次分離。
• 二維有能隙哈密頓量的面積定律。這是哈密頓量複雜度中的主要未解問題之一。
• 以 O(n^9/4) 時間完成矩陣乘法——這次終於有一個有理數指數（！），而且採用的方法與 O(n^2.373) 等結果完全不同
• 永久式的行列式複雜度有 Ω(n3) 的下界，改進了此前最佳的二次下界。
• 一種隨機化多項式時間演算法，可近似計算一般圖中的完美匹配數量；此外，還有一種隨機化近線性時間演算法，可在這類圖中找出最大匹配
• 有理數域上的多項式方程求解問題不可計算——這可以説是可計算性理論中最大的未解問題（請注意，丟番圖方程的求解不可計算性，即整數域上的多項式方程求解不可計算性，已於 1970 年代獲證，對希爾伯特第十問題給出了否定答案）

上述任何一項單獨而言，都足以輕易成為某個領域的「年度成果」（有些情況，例如 Unique Games 和 L=BPL，甚至足以成為整個電腦科學理論界的年度成果）。我還省略了許多內容——歡迎在留言中分享任何令你瞠目結舌的成果！數論、組合學、代數幾何、分析學以及幾乎所有其他數學領域，也都有同樣令人驚嘆的成果；其中大部分我都看不懂，不過可以指出，當中包括對黎曼猜想的部分進展、霍奇猜想和伯奇－斯温納通－戴爾猜想的研究進展（即其餘千禧年難題中的大多數）。

我們可以從名單上缺少的項目得到些許安慰。P ≠NP 不在其中，甚至 P=BPP 或 NEXP⊄P/poly 也不在，這顯然不是因為沒有人努力嘗試。看來，理論計算機科學中最重要的未解難題確實相當困難！

噢，免得我忘了：就在 OpenAI 公佈那批成果的前一天，也就是星期一晚上，Virginia Williams 和 Josh Alman 在 arXiv 發布了一篇預印本，證明 3SUM 問題可在 O(n^1.9992) 時間內解決，全點對最短路徑問題可在 O(n^2.9995) 時間內解決，推翻了已有半個世紀的猜想；這些猜想認為正確答案分別是 n^2-o(1) 和 n^3-o(1)。這次提出關鍵想法的不是 OpenAI 模型，而是 Anthropic 的模型！不過，Anthropic 隨後採取了與 OpenAI 不同的做法：它沒有把未經消化的解答直接發布給全世界，而是讓 Virginia 和 Josh 有機會撰寫並公佈經整理的版本，並支付報酬。

這已成為傳達 AI 數學突破的兩種主要模式，兩者各有優缺點。「OpenAI 模式」引發一場瘋狂競賽，讓人類設法消化並解釋一份雜亂的 AI 證明（這項工作很可能既吃力不討好、幾乎得不到認可，又競爭激烈、毫無樂趣）；而「Anthropic 模式」則讓一傢俬人公司掌握挑選哪些人類數學家擔任 AI 使者的權力。不知道，各位怎麼看？

如果你想知道：據説，產生所有這些成果的 AI 模型並不是一套特製系統，由 10,000 個 Agent 組成，耗用價值數百萬美元的運算資源，例如曾用來構造 Navier-Stokes 方程有限時間爆破解的那種。相反，它只是 OpenAI 最新的內部模型——視 OpenAI 安全委員會的建議而定，未來幾個月內或會向付費 ChatGPT 用戶推出！（我 9 歲的兒子説：「噢，他們絕對不應該推出它。要是它能解決所有那些數學問題，就絕對不可能安全。」）據説，平均每道成功解決的問題用了約 3 小時的 GPT-Pro 級別運算資源。

另外，如果你想知道：據説，他們曾用這個模型嘗試解答約 8,000 道問題。所以目前，它「僅僅」解決了約 5% 被問到的長期未解數學問題——這些問題是整個社羣多年來投入研究的；而它每道只嘗試一次，用時 3 小時。

看到計算機科學理論界積極應對，我很高興。在 Berkeley 的 Simons Institute、我所在的 UT Austin，以及其他地方，我聽説研究人員正趕忙仔細研讀手稿，努力理解內容並加以解説——因為我們還能做甚麼？否則又如何延續這門我們投入了大半人生的技藝？

如果你想感受一下如今數學界的處境，可以想像一個狩獵採集者，一生都在學習如何於嚴酷雨林深處求生；接着，一座配備直升機停機坪、暖水泳池和 AirBnBs 的大型度假酒店突然在他身旁拔地而起，而他卻毫不遲疑地説：「好吧，既然如此，我現在的新工作就是替遊客舉辦荒野體驗營之類的活動。」

在 Quanta 雜誌中，Jordana Cepelewitz 嘗試用了另一個比喻：

就像你被瞬間傳送到一座高山的山頂。四周濃霧瀰漫，你完全不知道自己身在何處，也不知道周遭有甚麼。你不知道自己所在的山與其他山如何相連，也沒有任何裝備可以助你探索，更沒有辦法讓其他人加入你。如果是你親自爬上這座山，就會親身體會人體如何適應海拔高度和氧氣水平的變化。你或許還得發明工具，幫助自己辨認方向、攀上陡峭的懸崖，或搭建庇護所。你或許會遇上一位同路的探險者，兩人在隱蔽的山谷中一同迷路，最後找到一種可以製成救命藥物的植物。

但你現在卻置身山頂，四周一片漆黑，而傳送機的製造者告訴你，這部機器比任何人類都更懂得探索荒野。

只要我們足夠重視這些山峯中的任何一座，我便樂觀地認為，我們可以像以往一樣，驅散迷霧、找出路徑，只是現在會用傳送機協助引路。更大的挑戰，是培育一個社羣，讓大家在有了這部機器的世界裏，仍然在乎尋找登上這些山峯的路徑，並珍視這場英雄式的冒險。（哦，我認為這個比喻有一處不太貼切：我們仍然確實擁有彼此，和以往一樣！）

經驗告訴我們，即使到了現在，仍然會有人用居高臨下的口吻解釋，説這一切都不是真的，也不算數。如果這些人會因實證世界中發生的任何事而感到驚訝，會因任何事而更新看法，那麼幾年前他們早就該感到驚訝、更新看法了，遠在事情發展到真正的 Mathocalypse 之前。

他們會説，所謂的解答或許根本不是解答，只是「AI 垃圾內容」。又或者，那 372 道廣為人知、已獲解決的未解問題，根本沒有一道是真正的數學問題，全都只是包裝得好聽的競賽謎題和瑣碎問題。（畢竟，黎曼猜想還是沒有解決！）又或者，整個有 4000 年歷史的數學學科都該被拋棄：原來數學全都只是解謎和處理瑣碎問題；唯一不同之處，只是如今這種瑣碎本質已暴露無遺。無論如何，真正重要的是，人類創造力真正的內在聖域尚未被攻破，而且很可能永遠不會；還有，Sam Altman 和 Dario Amodei 是可鄙的小書呆子。

如果你仍然支持那套註定失敗的世界觀，仍然身處這艘正在沉沒的船上，我強烈建議你讀一讀昨天另一篇對 AI 討論有重大貢獻的文章，除了 OpenAI 的 Mathocalypse 發布內容之外：也就是 Scott Alexander 給 Steven Pinker 的公開信。我覺得自己對此負有一點責任，因為我是最先讓 Steven Pinker 知道理性主義社羣存在的人，也是最先介紹 Steven Pinker 和 Scott Alexander 認識的人（他們此前都一直欣賞對方的作品）。而現在，Scott 更向 Steve 發出真正的決鬥挑戰，還要用槍！

無論如何，Steve 一直是我敬仰的思想界英雄，Scott 亦然；而我也有幸能稱 Steve 為朋友。但我認為 Scott 的文章是我讀過最具殺傷力的反駁之一。我也認為 Scott 的結論完全正確：談到 AI 風險，Steve 現在面對的重大挑戰，是接受並開始採用更「平克式」的認識論。

昨晚，我本應埋頭研讀 OpenAI 數百篇論文中的一些，及／或撰寫這篇文章，卻決定改為陪孩子一會。他們想來個電影之夜，於是我提議看一部他們從未看過、而我幾十年來也沒有重看的電影；這部電影似乎充滿不講空話、切實可行的指引，能讓他們瞭解自己將要成長的世界：Terminator 2。

本篇文章於2026年10月7日（星期三）下午1:57刊登，分類為未分類。 你可以透過RSS 2.0訂閲源追蹤本文的所有回應。 你可以留言，或從自己的網站發出引用通告。

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