Microsoft Research 研究員 Xinzhi Zhang 與 Zhao Song 證明 KLS 猜想

Microsoft Research 於 2026 年 10 月 21 日宣佈，其機器學習與最佳化小組的資深研究員 Xinzhi Zhang 與合作者 Zhao Song，透過由人類主導的 Agentic AI 研究流程，證明瞭 Kannan–Lovász–Simonovits 猜想。這個高維幾何與機率領域的問題已有 31 年歷史。

猜想與新界限

這項證明載於一篇長達 140 頁的論文 KLS 常數的 O(1) 界限。論文列出的作者為 Zhao Song 和 Xinzhi Zhang，於 2026 年 10 月 1 日首次提交至 arXiv，並於 2026 年 10 月 4 日修訂；投稿作者為 Zhang。摘要指出，作者證明 KLS 常數 ψ_n 受一個普適常數 C 所界定，從而解決了這項猜想；他們亦證明，每個各向同性對數凹機率測度的 Poincaré 常數都有一個普適界限。

這項於 1995 年提出的猜想，正式而言是問：在 n 維空間中，每個各向同性對數凹機率測度的 Cheeger 常數，是否都至少受一個普適正數所界定。Microsoft Research 網誌以較淺白的方式説明，對於一大類高維機率分佈，最佳平面或超平面切割是否總能達到與任何形狀的最佳切割幾乎相同的效果，而且兩者差異不會超過一個普適常數，無論維度有多少。由於這些切割的幾何性質決定隨機漫步探索某個分佈的速度，這項猜想在高維抽樣理論中扮演核心角色。

在這項研究之前，最佳已知結果是 Brayden Letwin 撰寫、於 2026 年 7 月 27 日提交的 21 頁論文 KLS 常數為 O(log^{1/4} n)。該論文證明 ψ_n 的上界為某個常數乘以 log^{1/4} n。Microsoft Research 網誌指出，隨著維度增加，這個界限仍會緩慢增大。新研究則適用一個固定界限，不會隨維度改變。

這項猜想在獲得解決之前，其重要性早已受到認可。網誌記述，數學科學研究所（Mathematical Sciences Research Institute）在 2017–18 年度報告中稱 KLS 是高維凸幾何的一項核心未解問題；Simons Institute 則稱之為凸幾何中最重要的未解問題之一；Ronen Eldan 亦在 2022 年國際數學家大會論文集中指出，這項猜想具有廣泛影響。

由人類主導的 Agentic 研究流程

網誌指出，作者最初致力改善 2026 年 7 月的研究結果。在一個由人類主導、有系統地運用 AI 代理的流程中，他們探索了 100 多種候選方法，其中許多涉及高階張量的繁複計算，並提出一項新的數學判準，成為最終證明的基礎。

作者隨後發現，這個判準可以遞迴套用；每次將改進後的界限代回同一論證，便可得出更緊的界限。在論文 2026 年 10 月 1 日的版本中，這使其對維度的依賴降至迭代對數。這個函數增長極慢，但仍會隨維度增加而增長，因此當時尚未解決這個猜想。最後一步是再次進行整套遞迴精化，而非只套用一次。貼文稱，這個想法受到作者早前關於線性規劃快速演算法的研究啟發。作者證明，每個階段引入的小誤差收縮得足夠快，因此累計誤差仍受一個與維度無關的普適常數所界定，並在 2026 年 10 月 4 日的版本中完成證明。

貼文指出，遞迴方法、反覆套用該方法，以及有界誤差論證，都是研究人員的原創貢獻。AI 工具協助探索候選方法、進行詳細推導、準備論文，以及進行內部證明檢查；研究人員則決定數學方向、選出有前景的想法、將它們整合成最終論證，並核實證明。貼文將這種方法描述為代理式搜尋，配合反覆的人為協助篩選：多個代理平行探索某個想法的不同變化時，研究人員會檢視中間結果、剔除沒有前景的方向，並把最有前景的結果交給下一輪。關鍵突破出現前，團隊探索了約一百條研究路線。

在項目的另一條研究路線中，作者曾多次嘗試在沒有引導的情況下，使用數個領先 AI 模型解決同一問題，所用的總 token 預算與主要流程大致相同；貼文指出，這些嘗試未能達成目標。貼文表示，最終成功有賴 AI 系統的能力，以及研究人員的數學判斷。貼文感謝 Song 對這項工作的貢獻，並感謝 Victor Reis 和 Ishai Menache 在整個項目期間參與討論。

獨立證明與機器驗證

2026 年 10 月 4 日，完整證明公開的同一天，Pierre Bizeul、Boaz Klartag 和 Joseph Lehec 發布了一份平行完成的 32 頁證明，題為《展示 Kannan-Lovász-Simonovits 猜想的一個證明》。論文的摘要指出：「證明中的關鍵一步，是 Song 和 Zhang 最近提出、涉及傾斜平均高階導數的判準。」論文的 arXiv 評論指出，文中有一段文字描述 AI 的使用情況。摘要將 KLS 與 Bourgain 的切片問題及方差猜想並列，指出它們是近幾十年高維幾何數學發展的推動力。

Krishnakumar Balasubramanian 和 Shiva Kasiviswanathan 發布了另一份證明，題為各向同性對數凹測度的 Poincaré 常數之維度無關界限，首次提交於 2026 年 10 月 6 日，並於 2026 年 10 月 8 日修訂。其摘要描述了一種確定性變分證明，並為任何各向同性對數凹機率測度的 Poincaré 常數給出明確的 25 上界。

一項名為 KLS500 的 Lean 4 形式化工作，形式化證明瞭每個各向同性對數凹概率分佈的維度無關龐加萊常數至多為 500。根據程式碼庫，這項工作主要建基於 Bizeul、Klartag 和 Lehec 的累積量與懸掛方法，並納入 Song 和 Zhang 的傾斜–譜判準；其驗證以核心信任等級為零的設定，重新建置了 1,710 個數學模組。OpenAI 所定義的 KLS 猜想精確表述，使用通用龐加萊常數 500，也通過了 Lean 驗證。本專案採用 Apache 2.0 授權。

Microsoft Research 的文章指出，獨立證明是數學中最有力的驗證形式之一，因為它們能證明結果並非只依賴單一推理鏈。文章表示，隨着猜想獲得解決，以往假設該猜想成立才能得出的結果，現在都可以無條件地表述。作者已縮短證明，並在 Lean 中驗證了精簡後的論證；文章表示，他們計劃在最後審閲後發布兩者。