OpenAI 宣稱模型反證指數時間假設，並證明所有維度下的掛谷猜想及部分四維量子場論存在性

編輯｜Neo

722 篇數學手稿引發的討論還沒結束，OpenAI 又把一個更讓人意外的結果擺到了科學家面前。

這一次，它聲稱推翻了理論計算機科學中一個被廣泛相信近 30 年的假設。而當年提出這一假設的兩位研究者，如今正準備組織同行，一起檢查 AI 給出的反證。

10 月 26 日，OpenAI 宣佈在數學、計算機科學和物理學三個領域取得新成果：證明所有維度下的局部光滑化猜想、證偽指數時間假設（ETH），以及為包括量子色動力學在內的四維量子場論建立嚴格的數學存在性證明。OpenAI 總裁 Greg Brockman 在 X 上將其稱為三項重大科學發現，並感嘆 AI 開始幫助人類增進對宇宙的理解。

不到三週前，OpenAI 剛剛公開了由內部模型生成的 722 篇數學手稿，分屬 372 個成果族、17 個研究方向。我們當時翻閲了這份清單，從中挑出了 30 道最受關注的經典難題。四維掛谷猜想就是其中之一。

現在，掛谷問題再次出現，但已經不是這批成果裏最出人意料的消息。把整個理論計算機科學界拉進討論的，是另一個縮寫：ETH。

一項存在了近 30 年的假設，

遭到了 AI 的挑戰

理解 ETH，可以先從下面這個例子説起。

假設有一把密碼鎖，每一位密碼只能是 0 或 1。我們不知道正確密碼，但掌握了幾條線索：第一位和第二位不能都是 0；第二位是 0，或者第三位是 0；第一位、第三位和第四位不能全部是 1。

問題是，能否找到一組數字，同時滿足所有線索？例如，1010 就是一組符合條件的密碼。

在計算機科學中，這種只有 0 和 1 兩種取值的選擇，可以用布爾變量表示，分別對應「假」和「真」。如果將每條線索寫成由不超過三個變量或其否定通過「或」連接的邏輯條件，再判斷能否找到一組取值讓所有條件同時成立，就得到了經典的 3-SAT 問題。

四位密碼很容易解決，最多隻需檢查 16 種組合。但如果密碼有 100 位，可能的組合就會增加到 2^100 種。雖然聰明的算法不必逐一嘗試，但面對一般的 3-SAT 問題，計算機究竟能有多快，一直是理論計算機科學的重要問題。

1990 年代末，Russell Impagliazzo、Ramamohan Paturi 和 Francis Zane 提出了指數時間假設（Exponential Time Hypothesis，ETH）。

它的核心觀點是：不存在一種能夠在亞指數時間內解決所有 3-SAT 問題的算法。 換句話説，無論算法如何改進，都無法把最壞情況下的運行時間降到 2^{o(n)} 這一量級，其中 n 代表布爾變量的數量。

此後近 30 年，ETH 逐漸成為理論計算機科學的重要基礎假設。研究者經常以它為前提，推導圖算法、數據庫查詢和計算生物學等領域的計算時間下界。已有數百篇研究論文依賴這一假設建立了條件性的困難性結論。

而這一次，OpenAI 的內部模型給出了一個可能打破這道邊界的算法。

根據公開的證明，對於固定寬度的 CNF 布爾公式，模型構造了一種確定性算法，不僅能判斷是否存在滿足條件的賦值，還能精確計算滿足條件的賦值數量。以前面的密碼問題為例，判斷有沒有符合線索的密碼，只需要找到一組即可；而精確計數則可以算出究竟有多少組密碼滿足全部條件。

更關鍵的是速度。對於子句數量與變量數量成比例的相關問題，OpenAI 給出了形如 2^{O(n/√log n)} 的運行時間界（略去多項式因子），屬於亞指數時間。

如果證明成立，就意味着 ETH 被證偽。 這並不意味着所有困難問題都能快速解決，但過去被認為無法跨越的一道理論邊界，可能已經被突破。

更有戲劇性的是，接下來負責審查這項成果的人。

OpenAI 邀請了加州大學聖迭戈分校的 Impagliazzo、Paturi，以及 MIT 的 Ryan Williams 組織外部研究團隊。前兩人正是 ETH 的原始提出者，Williams 則長期研究算法與計算複雜性下界。

近 30 年前提出這一假設的科學家，如今要親自參與檢查 AI 給出的反證。

根據 OpenAI 公佈的時間線，模型在 10 月 16 日生成 ETH 的自然語言反證，次日完成 Lean 形式化，並於 10 月 26 日正式公佈結果。Williams 等人隨後宣佈組織開放、獨立的審查。

OpenAI 公開的指數時間假設（ETH）證偽結果的 Lean 形式化證明説明。

一個被理論計算機科學界廣泛使用了近 30 年的假設，如今可能被 AI 改寫。而它的提出者，正與同行一起檢驗這份證明。

上次是四維掛谷，

這次直接推到了所有維度

把視線從計算機科學轉回數學，老讀者會碰到一個熟悉的名字：掛谷（Kakeya）。

在此前 722 篇手稿的報道中，我們介紹過這個起源於一根針的數學問題：如果要讓一根針轉遍所有方向，究竟需要多大的空間？這個看似簡單的幾何問題，後來延伸出了高維集合的維數猜想，並與調和分析、偏微分方程發生了深刻聯繫。

2025 年，王虹和 Joshua Zahl 解決了三維掛谷集合猜想。此前，OpenAI 的第 074 號成果族聲稱進一步證明三維掛谷極大猜想和四維掛谷維數猜想，當時這兩份手稿還沒有對應的 Lean 形式化證明。

這一次，OpenAI 找到的入口換了。

新成果首先瞄準的是數學家 Christopher Sogge 在 1991 年提出的局部光滑化猜想（Local Smoothing Conjecture）。它研究的是波如何在傳播過程中聚焦：在某個瞬間，波可能在一處異常集中；但如果把一段時間裏的表現放在一起觀察，這種極端集中的狀態並不能長期維持。

可以把它想成水面上相遇的波紋。某個瞬間，波峯可能在一個位置疊加得格外高，但隨着波繼續傳播，那個最極端的峯值很快就會改變。局部光滑化要做的，是用精確的不等式説明時間平均能帶來多少額外的規則性。

這不是單純研究波的數學遊戲。波方程的行為、傅裏葉分析中的限制估計，以及掛谷集合的幾何結構，背後有一套互相牽連的理論。

2019 年，Larry Guth、王虹和張瑞祥證明瞭二維空間下的局部光滑化猜想。OpenAI 現在宣稱，模型找到一種新的輔助偏微分方程，並藉此把證明推進到所有空間維度。按照 OpenAI 的論述，這一結果進一步解決了所有維度下的掛谷猜想與 Stein 限制猜想。

從前一次的三維、四維特定結果，到這一次聲稱通過局部光滑化給出覆蓋所有維度的統一結論，變化相當明顯。

時間也很緊湊：OpenAI 表示，模型在 10 月 18 日得到證明，10 月 19 日就完成了 Lean 形式化。自然語言手稿和形式化證明已經公開。與 ETH 不同，OpenAI 沒有為數學部分指定一個先行審查小組，而是讓研究者直接進入公開材料，自行組織解釋和複核。

OpenAI 公開的局部光滑化猜想 Lean 形式化證明説明，涵蓋所有二維及以上空間中的局部光滑化估計，並證明相應維度下掛谷集合具有完整的 Hausdorff 維數。

物理學的難題：

我們會用的理論，能否被嚴格構造出來？

如果説 ETH 關心計算究竟能有多快，掛谷和局部光滑化關心空間與波的性質，那麼第三項成果，已經直接觸及現代物理學描述微觀世界的基礎。

量子色動力學（Quantum Chromodynamics，QCD）描述夸克和膠子之間的強相互作用。物理學家用它研究質子、中子以及構成它們的更基本粒子，相關計算和實驗構成了現代粒子物理的重要支柱。

但這裏存在一種有趣的落差：一套理論可以在物理計算和實驗中表現得非常成功，要把它嚴格構造成滿足數學公理的量子場論，卻是另一回事。

在四維時空裏，粒子之間的相互作用、不同尺度上不斷出現的量子漲落，以及如何從近似計算走向嚴格定義，讓構造性量子場論長期面臨巨大的數學困難。

OpenAI 這次聲稱，內部模型沿着數學物理學家 Tadeusz Balaban 的構造性量子場論研究路線，建立了某些包含規範場與費米子的四維相互作用量子場論的嚴格存在性證明，其中涉及 QCD，以及容納標準模型規範場和費米子的一種統一擴展。

這項工作還包含純 Yang–Mills（楊—米爾斯）理論的存在性證明。2000 年，克雷數學研究所把「楊—米爾斯存在性與質量間隙」列為七大千禧年數學難題之一。題目要求的不只是證明量子楊—米爾斯理論存在，還要證明其具有正的質量間隙。OpenAI 這次宣佈的部分是存在性，並未宣佈解決質量間隙。

物理學部分最引人注目的，還有接手研究的科學家名單。

2004 年諾貝爾物理學獎得主 David Gross 將牽頭一個工作組，成員包括 Michael Douglas、Arthur Jaffe、Igor Klebanov 和 Nikita Nekrasov。Gross 因漸近自由相關工作獲獎，而漸近自由正是理解強相互作用在極短距離下行為的關鍵；Jaffe 則與 Edward Witten 共同撰寫過楊—米爾斯千禧年難題的正式表述。

這次的發佈方式也與前兩項不同。OpenAI 透露，模型早在 9 月 9 日就生成了楊—米爾斯存在性證明，9 月 18 日又生成 QCD 相關證明。由於材料複雜、篇幅龐大，公司一直等到 10 月 16 日完成楊—米爾斯存在性的 Lean 形式化，才推進外部合作。

物理工作組選擇先整理、理解並撰寫自己的研究文本，暫時不公開 AI 生成的原始證明。也就是説，這項最靠近現代物理學基礎的成果，目前還要由專家組把長篇證明轉化成同行能夠閲讀、判斷和繼續使用的研究。

AI 寫出證明之後，

科學家開始接手另一段工作

回看這三項成果，真正值得觀察的變化，除了問題本身的分量，還有 OpenAI 對待這些成果的方式。

10 月 6 日公佈 722 篇手稿時，OpenAI 採用的是集中公開的模式：論文、證明文件、結果目錄和部分模型推理摘要一起放進 GitHub。數學家能夠直接閲讀，也不得不面對一個現實問題：數百份橫跨不同學科的手稿，究竟要由誰來檢查、由誰來解釋，又如何判斷其中哪些包含真正的新思想？

這並非一個純粹的工作量問題。此前那批手稿公開後，有三份因證明中的符號錯誤被撤回。另一方面，即使有 Lean 形式化，學術界仍需要弄清形式化定理是否準確對應原來的猜想，以及證明到底引入了哪些可以遷移到其他問題的新方法。

OpenAI 現在對這些 AI 產物用了一個很有意思的説法：原始研究數據。

這種定位把「產生證明」與「形成科學理解」分開了。前者可以由 AI 先行完成；後者需要研究者複核論證、重寫解釋、追溯已有工作、判斷貢獻，並把新工具放進學科現有的知識體系。

因此，10 月 26 日的三項成果，分別對應三種安排：數學部分直接公開，讓社區自行組織研究；計算機科學部分公開證明，同時邀請 ETH 原始提出者和領域專家組織獨立審查；物理部分則先把材料交給專家團隊，待他們完成整理後再決定如何發表。

OpenAI 同時提出幾條合作原則：外部成員自願、獨立參與，不簽署保密協議，也不因模型發現而替 OpenAI 爭取學術署名；他們應當因自己完成的解釋、證明整理和後續研究獲得認可。公司還承諾支持獨立審查，並在此前宣佈向 Simons Foundation 的相關計劃投入 500 萬美元，用於研討會、學術會議和研究項目。

三種發佈方式背後，其實是同一個問題：當 AI 能夠在短時間內生成大量前沿研究成果，科學界該如何消化這些新知識？

直接公開證明，可以讓更多研究者立即參與，但也意味着龐大的審查工作需要由社區自行承擔。先交給專家團隊，則能夠集中力量整理複雜的研究成果，卻也讓部分人比其他研究者更早接觸到材料。

OpenAI 顯然也意識到了這個問題。相比 10 月初一次性公開 722 篇數學手稿，這次它不僅公佈了研究結果，還開始嘗試為不同學科建立相應的審查和合作機制。

ETH 的故事恰好提供了一個頗具象徵性的場景。

近 30 年前，Impagliazzo 和 Paturi 參與提出了這個假設，此後數百篇研究論文以它為前提，探索計算問題的複雜性邊界。如今，OpenAI 的模型聲稱找到了反證，而這兩位科學家正與同行一起，重新審視這個曾經由他們參與建立的理論基礎。

對 OpenAI 而言，模型已經完成了證明的生成和形式化。對科學界而言，真正的研究工作仍在繼續：審查算法、理解證明中的新方法，以及判斷這些結果將如何影響後續研究。

從 722 篇數學手稿到如今橫跨三個學科的研究成果，OpenAI 展示的不再只是 AI 能夠產出多少證明，也開始觸及一個更實際的問題：當 AI 不斷提出新的科學結論，人類如何將這些結論轉化為真正可以理解、驗證和繼續發展的知識。