OpenAI 宣稱模型反證指數時間假設，並證明所有維度下的掛谷猜想及部分四維量子場論存在性

编辑｜Neo

722 篇数学手稿引发的讨论还没结束，OpenAI 又把一个更让人意外的结果摆到了科学家面前。

这一次，它声称推翻了理论计算机科学中一个被广泛相信近 30 年的假设。而当年提出这一假设的两位研究者，如今正准备组织同行，一起检查 AI 给出的反证。

10 月 26 日，OpenAI 宣布在数学、计算机科学和物理学三个领域取得新成果：证明所有维度下的局部光滑化猜想、证伪指数时间假设（ETH），以及为包括量子色动力学在内的四维量子场论建立严格的数学存在性证明。OpenAI 总裁 Greg Brockman 在 X 上将其称为三项重大科学发现，并感叹 AI 开始帮助人类增进对宇宙的理解。

不到三周前，OpenAI 刚刚公开了由内部模型生成的 722 篇数学手稿，分属 372 个成果族、17 个研究方向。我们当时翻阅了这份清单，从中挑出了 30 道最受关注的经典难题。四维挂谷猜想就是其中之一。

现在，挂谷问题再次出现，但已经不是这批成果里最出人意料的消息。把整个理论计算机科学界拉进讨论的，是另一个缩写：ETH。

一项存在了近 30 年的假设，

遭到了 AI 的挑战

理解 ETH，可以先从下面这个例子说起。

假设有一把密码锁，每一位密码只能是 0 或 1。我们不知道正确密码，但掌握了几条线索：第一位和第二位不能都是 0；第二位是 0，或者第三位是 0；第一位、第三位和第四位不能全部是 1。

问题是，能否找到一组数字，同时满足所有线索？例如，1010 就是一组符合条件的密码。

在计算机科学中，这种只有 0 和 1 两种取值的选择，可以用布尔变量表示，分别对应「假」和「真」。如果将每条线索写成由不超过三个变量或其否定通过「或」连接的逻辑条件，再判断能否找到一组取值让所有条件同时成立，就得到了经典的 3-SAT 问题。

四位密码很容易解决，最多只需检查 16 种组合。但如果密码有 100 位，可能的组合就会增加到 2^100 种。虽然聪明的算法不必逐一尝试，但面对一般的 3-SAT 问题，计算机究竟能有多快，一直是理论计算机科学的重要问题。

1990 年代末，Russell Impagliazzo、Ramamohan Paturi 和 Francis Zane 提出了指数时间假设（Exponential Time Hypothesis，ETH）。

它的核心观点是：不存在一种能够在亚指数时间内解决所有 3-SAT 问题的算法。 换句话说，无论算法如何改进，都无法把最坏情况下的运行时间降到 2^{o(n)} 这一量级，其中 n 代表布尔变量的数量。

此后近 30 年，ETH 逐渐成为理论计算机科学的重要基础假设。研究者经常以它为前提，推导图算法、数据库查询和计算生物学等领域的计算时间下界。已有数百篇研究论文依赖这一假设建立了条件性的困难性结论。

而这一次，OpenAI 的内部模型给出了一个可能打破这道边界的算法。

根据公开的证明，对于固定宽度的 CNF 布尔公式，模型构造了一种确定性算法，不仅能判断是否存在满足条件的赋值，还能精确计算满足条件的赋值数量。以前面的密码问题为例，判断有没有符合线索的密码，只需要找到一组即可；而精确计数则可以算出究竟有多少组密码满足全部条件。

更关键的是速度。对于子句数量与变量数量成比例的相关问题，OpenAI 给出了形如 2^{O(n/√log n)} 的运行时间界（略去多项式因子），属于亚指数时间。

如果证明成立，就意味着 ETH 被证伪。 这并不意味着所有困难问题都能快速解决，但过去被认为无法跨越的一道理论边界，可能已经被突破。

更有戏剧性的是，接下来负责审查这项成果的人。

OpenAI 邀请了加州大学圣迭戈分校的 Impagliazzo、Paturi，以及 MIT 的 Ryan Williams 组织外部研究团队。前两人正是 ETH 的原始提出者，Williams 则长期研究算法与计算复杂性下界。

近 30 年前提出这一假设的科学家，如今要亲自参与检查 AI 给出的反证。

根据 OpenAI 公布的时间线，模型在 10 月 16 日生成 ETH 的自然语言反证，次日完成 Lean 形式化，并于 10 月 26 日正式公布结果。Williams 等人随后宣布组织开放、独立的审查。

OpenAI 公开的指数时间假设（ETH）证伪结果的 Lean 形式化证明说明。

一个被理论计算机科学界广泛使用了近 30 年的假设，如今可能被 AI 改写。而它的提出者，正与同行一起检验这份证明。

上次是四维挂谷，

这次直接推到了所有维度

把视线从计算机科学转回数学，老读者会碰到一个熟悉的名字：挂谷（Kakeya）。

在此前 722 篇手稿的报道中，我们介绍过这个起源于一根针的数学问题：如果要让一根针转遍所有方向，究竟需要多大的空间？这个看似简单的几何问题，后来延伸出了高维集合的维数猜想，并与调和分析、偏微分方程发生了深刻联系。

2025 年，王虹和 Joshua Zahl 解决了三维挂谷集合猜想。此前，OpenAI 的第 074 号成果族声称进一步证明三维挂谷极大猜想和四维挂谷维数猜想，当时这两份手稿还没有对应的 Lean 形式化证明。

这一次，OpenAI 找到的入口换了。

新成果首先瞄准的是数学家 Christopher Sogge 在 1991 年提出的局部光滑化猜想（Local Smoothing Conjecture）。它研究的是波如何在传播过程中聚焦：在某个瞬间，波可能在一处异常集中；但如果把一段时间里的表现放在一起观察，这种极端集中的状态并不能长期维持。

可以把它想成水面上相遇的波纹。某个瞬间，波峰可能在一个位置叠加得格外高，但随着波继续传播，那个最极端的峰值很快就会改变。局部光滑化要做的，是用精确的不等式说明时间平均能带来多少额外的规则性。

这不是单纯研究波的数学游戏。波方程的行为、傅里叶分析中的限制估计，以及挂谷集合的几何结构，背后有一套互相牵连的理论。

2019 年，Larry Guth、王虹和张瑞祥证明了二维空间下的局部光滑化猜想。OpenAI 现在宣称，模型找到一种新的辅助偏微分方程，并借此把证明推进到所有空间维度。按照 OpenAI 的论述，这一结果进一步解决了所有维度下的挂谷猜想与 Stein 限制猜想。

从前一次的三维、四维特定结果，到这一次声称通过局部光滑化给出覆盖所有维度的统一结论，变化相当明显。

时间也很紧凑：OpenAI 表示，模型在 10 月 18 日得到证明，10 月 19 日就完成了 Lean 形式化。自然语言手稿和形式化证明已经公开。与 ETH 不同，OpenAI 没有为数学部分指定一个先行审查小组，而是让研究者直接进入公开材料，自行组织解释和复核。

OpenAI 公开的局部光滑化猜想 Lean 形式化证明说明，涵盖所有二维及以上空间中的局部光滑化估计，并证明相应维度下挂谷集合具有完整的 Hausdorff 维数。

物理学的难题：

我们会用的理论，能否被严格构造出来？

如果说 ETH 关心计算究竟能有多快，挂谷和局部光滑化关心空间与波的性质，那么第三项成果，已经直接触及现代物理学描述微观世界的基础。

量子色动力学（Quantum Chromodynamics，QCD）描述夸克和胶子之间的强相互作用。物理学家用它研究质子、中子以及构成它们的更基本粒子，相关计算和实验构成了现代粒子物理的重要支柱。

但这里存在一种有趣的落差：一套理论可以在物理计算和实验中表现得非常成功，要把它严格构造成满足数学公理的量子场论，却是另一回事。

在四维时空里，粒子之间的相互作用、不同尺度上不断出现的量子涨落，以及如何从近似计算走向严格定义，让构造性量子场论长期面临巨大的数学困难。

OpenAI 这次声称，内部模型沿着数学物理学家 Tadeusz Balaban 的构造性量子场论研究路线，建立了某些包含规范场与费米子的四维相互作用量子场论的严格存在性证明，其中涉及 QCD，以及容纳标准模型规范场和费米子的一种统一扩展。

这项工作还包含纯 Yang–Mills（杨—米尔斯）理论的存在性证明。2000 年，克雷数学研究所把「杨—米尔斯存在性与质量间隙」列为七大千禧年数学难题之一。题目要求的不只是证明量子杨—米尔斯理论存在，还要证明其具有正的质量间隙。OpenAI 这次宣布的部分是存在性，并未宣布解决质量间隙。

物理学部分最引人注目的，还有接手研究的科学家名单。

2004 年诺贝尔物理学奖得主 David Gross 将牵头一个工作组，成员包括 Michael Douglas、Arthur Jaffe、Igor Klebanov 和 Nikita Nekrasov。Gross 因渐近自由相关工作获奖，而渐近自由正是理解强相互作用在极短距离下行为的关键；Jaffe 则与 Edward Witten 共同撰写过杨—米尔斯千禧年难题的正式表述。

这次的发布方式也与前两项不同。OpenAI 透露，模型早在 9 月 9 日就生成了杨—米尔斯存在性证明，9 月 18 日又生成 QCD 相关证明。由于材料复杂、篇幅庞大，公司一直等到 10 月 16 日完成杨—米尔斯存在性的 Lean 形式化，才推进外部合作。

物理工作组选择先整理、理解并撰写自己的研究文本，暂时不公开 AI 生成的原始证明。也就是说，这项最靠近现代物理学基础的成果，目前还要由专家组把长篇证明转化成同行能够阅读、判断和继续使用的研究。

AI 写出证明之后，

科学家开始接手另一段工作

回看这三项成果，真正值得观察的变化，除了问题本身的分量，还有 OpenAI 对待这些成果的方式。

10 月 6 日公布 722 篇手稿时，OpenAI 采用的是集中公开的模式：论文、证明文件、结果目录和部分模型推理摘要一起放进 GitHub。数学家能够直接阅读，也不得不面对一个现实问题：数百份横跨不同学科的手稿，究竟要由谁来检查、由谁来解释，又如何判断其中哪些包含真正的新思想？

这并非一个纯粹的工作量问题。此前那批手稿公开后，有三份因证明中的符号错误被撤回。另一方面，即使有 Lean 形式化，学术界仍需要弄清形式化定理是否准确对应原来的猜想，以及证明到底引入了哪些可以迁移到其他问题的新方法。

OpenAI 现在对这些 AI 产物用了一个很有意思的说法：原始研究数据。

这种定位把「产生证明」与「形成科学理解」分开了。前者可以由 AI 先行完成；后者需要研究者复核论证、重写解释、追溯已有工作、判断贡献，并把新工具放进学科现有的知识体系。

因此，10 月 26 日的三项成果，分别对应三种安排：数学部分直接公开，让社区自行组织研究；计算机科学部分公开证明，同时邀请 ETH 原始提出者和领域专家组织独立审查；物理部分则先把材料交给专家团队，待他们完成整理后再决定如何发表。

OpenAI 同时提出几条合作原则：外部成员自愿、独立参与，不签署保密协议，也不因模型发现而替 OpenAI 争取学术署名；他们应当因自己完成的解释、证明整理和后续研究获得认可。公司还承诺支持独立审查，并在此前宣布向 Simons Foundation 的相关计划投入 500 万美元，用于研讨会、学术会议和研究项目。

三种发布方式背后，其实是同一个问题：当 AI 能够在短时间内生成大量前沿研究成果，科学界该如何消化这些新知识？

直接公开证明，可以让更多研究者立即参与，但也意味着庞大的审查工作需要由社区自行承担。先交给专家团队，则能够集中力量整理复杂的研究成果，却也让部分人比其他研究者更早接触到材料。

OpenAI 显然也意识到了这个问题。相比 10 月初一次性公开 722 篇数学手稿，这次它不仅公布了研究结果，还开始尝试为不同学科建立相应的审查和合作机制。

ETH 的故事恰好提供了一个颇具象征性的场景。

近 30 年前，Impagliazzo 和 Paturi 参与提出了这个假设，此后数百篇研究论文以它为前提，探索计算问题的复杂性边界。如今，OpenAI 的模型声称找到了反证，而这两位科学家正与同行一起，重新审视这个曾经由他们参与建立的理论基础。

对 OpenAI 而言，模型已经完成了证明的生成和形式化。对科学界而言，真正的研究工作仍在继续：审查算法、理解证明中的新方法，以及判断这些结果将如何影响后续研究。

从 722 篇数学手稿到如今横跨三个学科的研究成果，OpenAI 展示的不再只是 AI 能够产出多少证明，也开始触及一个更实际的问题：当 AI 不断提出新的科学结论，人类如何将这些结论转化为真正可以理解、验证和继续发展的知识。